Ganzrationale Funktion: Eigenschaften!?

Deine Frage

f(x)=2x^4-3x^3-x^2+x-3

ICh hab jetzt scon Tief-und Hochpunkt bestimmt, die Nullstellen, und den y-Achsenabschnitt (punktsymetrisch oder symetrisch zur y Achsenachse ist sie glaube ich nicht!)

Was gibt es sonst noch für merkmale bzw. Eigenschaften? (monoton steigend/fallend), da gibt es auch noch so ein Zeichen, das wie eine umgedrehte 8 aussieht…weiß aber irgendwie nicht, was das soll!

Bin dankbar für jede hilfreiche Antwort!

Meine Frage:

Antworten

  1. Stimmt, sie ist weder axialsymmetrisch zur y-Achse (Da müsste für alle x gelten: f(x) = f( – x), müsste x also nur zu geraden Potenzen auftreten) noch punktsyymetrisch zum Ursprung (da müsste für alle x gelten: f(x) = – f( – x), x dürfte also nur zu ungeraden Potenzen auftreten)

    Die komische Brezel ist unendlich.

    Du kannst Dich also fragen, was die y-Werte machen, wenn die x-Werte Richtung – oo (minus unendlich) oder + oo (plus unendlich) spazieren.

    f(x) = x^4 (2 – 3/x -1/x² + 1/x³ – 1/x^4)
    Wenn hier x gegen oo strebt, wird der Ausdruck in der Klammer 2, der Ausdruck vor der Klammer strebt auch gegen + oo.

    Wenn x gegen – oo strebt, strebt x^4 trotzdem gegen + oo und die Klammer geht wieder gegen 2.

    Also gehen die Funktionswerte links und rechts gaaaaaaanz nach oben.

    Dann kannst Du auch noch nach Wendestellen sehen.
    Da verschwindet die zweite Ableitung, aber die dritte nicht:

    f(x) = 2x^4 – 3x³ – x² + x – 3

    f '(x) = 8x³ – 9x² +2x + 1
    f ''(x) = 24x² – 18x + 2
    f ''(x) = 48 x – 18

    Monoton wachsend ist die Funktion überall, wo die 1. Ableitung positiv ist, monoton fallend ist sie da, wo die 1. Abeitung negativ ist.

    Konvex von unten ist sie überall da, wo die 1. Ableitung monoton wachsend ist, die 2. Ableitung also positiv.

    Konkav von unten ist sie überall da, wo die 1. Ableitung monoton fallend ist, die 2. Ableitung also negativ.

    @syfaen
    Meinst Du wirklich y = f(x) = 2x^4 – 3x³ – x² + x – 3 ???

    Da kriege ich nämlich ziemlich krumme Werte raus, an Hand derer ich Dir Deine Fragen schlecht erklären kann.

    Ich finde als eine NST xN = – 1

    Dann habe ich die Werte jetzt mal bei excel eingegeben und festgestellt, dass eine zweite Nullstelle zwischen 1,8 und 1,9 liegen müsste.

    Weitere Nullstellen gibt es nicht.

    Die lokalen minima scheinen bei – 0,4 und 1.2 zu liegen, wobei das bei 1.2 dann das globale sein müsste.
    Etwa bei 0.3 müsste ein lokales maximum liegen.
    Ein globales gibt es nicht, weil die Grenzwerte
    lim x-> oo f(x) = oo und lim x -> – oo f(x) = oo

    Ein Wendepunkt müsste etwa bei – 0.2 vorliegen, der nächste etwa bei 0,7-
    Dann ist die Kurve von – oo bis zum ersten Wendepunkt konvex von unten.
    Von da bis zum 2. Wendepunkt ist sie konkav von unten. Und danach wieder konvex von unten.

    Das bedeutet:
    Wenn Du Dir die Kurve von unten ansiehst, dann ist sie im ersten Stück nach außen gewölbt – konvex (wie Dein PodEX), dann nach innen und zum Schluss wieder nach außen.

    (Aber nur, wenn Du von unten auf die Kurve schaust.
    Von oben her ist das genau umgekehrt)

  2. Hi
    die umgedrehte acht is wohl der Grenzwert berechnen
    also wenn x gegen unendlich geht
    lim x–> unendlich = unendlich (da polynom)

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