Potenzen einfache aufgabe?

Deine Frage

mir bereitet die aufgabestellung probleme zum beispiel dieses a^-1 =1/a oder a^-n= 1/a^n ich kann das nicht nachvollziehen kann jemmand das ganz einfach erkären ? liebe grüße

Antworten

  1. Das begründet die Schulmathematik auch.

    Diese Festlegung beim Übergang zu negativen Exponenten ist sinnvoll, damit die Rechengesetze, die bei positiven Exponenten weiter gelten.

    Bei natürlichen Exponenten gilt ja:
    a^n : a^m = a^(n – m) für n > m

    Jetzt soll dieses Gesetz auch für n < m gelten

    Sei n < m, also m = n + k
    Dann ist a^m = a^(n+k) = a^n * a^k

    Dann ist
    a^n : a^m = a^( n – m) = a^[n – (n + k)] = a^(n – n – k) = a^(- k)
    Aber auch
    a^n : a^m = a^n : a^(n+k) = a^n / (a^n * a^k) Und jetzt kann man a^n kürzen, also

    a^n : a^m = a^n : a^(n+k) = a^n / (a^n * a^k) = 1 / a^k

    Durch Vergleich ergibt sich, dass es sinnvoll ist, festzulegen:
    a^(-k) = 1 /a^k

    (Und für k = 1 ergibt sich nun natürlich a^-1 = 1/a^1 = 1/a)

  2. dazu bildet man eine reihe

    a^1=a
    a^2=a*a
    a^3=a*a*a

    soweit war es dir wahrscheinlich klar.
    nun mal andersrum und fortegesetzt

    a^3=a*a*a
    a^2=a*a
    a^1=a
    a^0= a/a
    a^-1= 1/a bzw a/(a*a)
    a^-2= 1/(a*a) = 1/a^2
    a^-3= 1/(a*a*a) = 1/a^3
    usw.

    warum das jetzt so sein muss, kann ich dir leider nicht erklären, aber das entzieht sich auch der schulmathematik. erstmal einfach hinnehmen, dass das so festgelegt wurde.
    2+2+2=2*3 zweifels du ja auch nicht an 😀

  3. Hallo D Mat!

    Ja, es ist wirklich so, dass a^(-1)=1/a, mit a≠0 (wichtig!) in der Mathematik festgelegt worden ist.

    Du müsstest es genauso hinnehmen, wie Azul sagt:
    2 + 2 + 2 = 3*2 = 6 oder
    2*2*2 = 2^3 = 8
    a^(-n)= (a^(-1))^n = 1/a^n
    Es gelten die Potenzgesetze, usw.
    Ich könnte es Dir mathematisch begründen, erklären, beweisen.
    Aber, ich finde auch, das entzieht sich wirklich der Schulmathematik und ist wahrscheinlich nur für einen Mathematik-Studenten verständlich..

    Warum nun a^(-1)=1/a, mit a≠0 festgelegt worden ist, dass ist eigentlich ganz einfach zu erklären. Vielleicht interessiert es Dich und Du verstehst es…

    Die mathematische Struktur (mit der wir tagtäglich rechnen) nennt der Mathematiker einen "Körper".
    In diesem Körper gelten sogenannte Körperaxiome, in denen das Rechnen mit den reellen Zahlen geregelt ist.
    Es gibt so gesehen "nur" die Addition und die Multiplikation.
    Und zu jeder reellen Zahl a, soll es ein Inverses zu a bzgl. der Addition geben, dass der Mathematiker mit einem Minuszeichen davor bezeichnet (-a) und es gilt für alle a:
    a + (-a) = 0 = (-a) + a
    wobei 0 das neutrale Elem. der Addition ist.
    (Andere Schreibweise a – a = 0 = -a + a)

    Das Gleiche gilt für die Multiplikation:
    Zu jeder rellen Zahl (außer 0, wichtig!, weil jeder Körper ist nullteilerfrei) gibt es ein Inverses bzgl. der Multiplikation, dass der Mathematiker mit hoch(-1) bezeichnet und es gilt:
    a * a^(-1) = 1 = a^(-1) * a
    wobei 1 das neutrale Elem. der Multiplikation ist.
    (Wir schreiben auch: aa^(-1) = 1 = a^(-1)a ,
    andere Schreibweise, mit Bruch: a * (1/a) = 1 = (1/a) * a).

    Und aus diesen Axiomen (und mit ein Paar anderen Axiomen) ergeben sich erst die Potenzgesetze, wie z.B.

    a/a = a * 1/a = a * a^(-1) = 1 =
    1 = a^(1) * a^(-1) = a^(1-1) = a^0 = 1
    (deswegen gilt übrigens für alle reelle Zahlen a, a≠0: a^0 = 1)

    a^(-n) = (a^(-1))^n = 1/a^n
    Das hat ja Azul mit dieser Reihe schön veranschaulicht.

    Also, wie gesagt ist a^(-1) das eindeutig definierte multiplikative Inverse zu a, dass der Mathematiker auch als Bruch darstellt 1/a, mit a≠0, (0 ist das neutrale Elem. der Addition).

    a^(-1) = 1/a , a≠0, ist festgelegt.

    Genauso wie festgelegt worden ist, dass durch 0 nicht dividiert wird. Punkt.

    Gruß

  4. Wenn man einfach mal anstelle von a die Zahl 10 nimmt, kannst du es vielleicht besser verstehen.

    10^3 = 10 * 10 * 10 = 1000
    10^2 = 10 * 10 = 100
    10^1 = 10 = 10
    10^0 = 10/10 = 1
    10^-1 = 1 / 10 = 0,1
    10^-2 = 1 / (10 * 10) = 0,01
    10^-3 = 1 / (10 * 10 * 10) = 0,001

    Das ganze sieht dann einfach wie eine Dezimalzahl aus:
    a * 10^3 + b * 10^2 + c * 10^1 + d * 10^0 + e * 10^-1 + f * 10^-2 + g * 10^-3
    = a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d * 1 + e * 0,1 + f * 0,01 + g * 0,001
    Wobei jeder Buchstabe eine Ganzahl zwischen 0 und 9 darstellt.

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